Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求b+c的值；
（2）若点C在抛物线上，且四边形OABC是平行四边形，试求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，作∠OBC的角平分线，与抛物线交于点P，求点P的坐标．

Answer

（1）根据已知得到B（0，c），A（-c，0），把A的坐标代入解析式即可求出答案；
（2）由平行四边形OABC得到BC=AO=c，点B的坐标为（0，c），根据平行四边形的性质得到C的坐标，把C的坐标代入解析式和b+c=1组成方程组，即可求出b、c的值，即得到抛物线的解析式；
（3）过点P作PM⊥y轴，PN⊥BC，垂足分别为M、N，根据角平分线的性质得到PM=PN，设点P的坐标为，代入解析式即可求出P的坐标．
【解析】
（1）由题意得：点B的坐标为（0，c），其中c＞0，OB=c，
∵OA=OB，点A在x轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（-c，0），
∵点A在抛物线y=-x2+bx+c上，
∴0=-c2-bc+c，
∵c＞0，
∴两边都除以c得：0=-c-b+1，
b+c=1，
答：b+c的值是1．

（2）【解析】
∵四边形OABC是平行四边形
∴BC=AO=c，
又∵BC∥x轴，点B的坐标为（0，c）
∴点C的坐标为（c，c），
又点C在抛物线上，
∴c=-c2+bc+c
∴b-c=0或c=0（舍去），
又由（1）知：b+c=1，
∴，，
∴抛物线的解析式为，
答：抛物线的解析式是y=-x2+x+．

（3）【解析】
过点P作PM⊥x轴，PN⊥y轴，垂足分别为M、N，PM交BC的延长线于H，

∵由（2）知BC∥x轴，PM⊥x轴，
∴PH⊥BC，
∵BP平分∠OBC，PN⊥BO，PH⊥BC，
∴PN=PH，
设点P的坐标为，
∴PN=x，ON=PM=-（-x2+x+）
∴BN=BO+ON=-（-x2+x+），PN=x，
∴BN=PN，即，
解得：或x=0，
当x=时，-x2+x+=-1，
∴点P的坐标为（1.5，-1），
当x=0时，-x2+x+=，、
∴点P的坐标为（0，），此时P和B重合，舍去，
答：点P的坐标是（1.5，-1）．