Question

如图，直角坐标系中，以点A（1，0）为圆心画圆，点M（4，4）在⊙A上，直线y=-x+b过点M，分别交x轴、y轴于B、C两点．
（1）求⊙A的半径和b的值；
（2）判断直线BC与⊙A的位置关系，并说明理由；
（3）若点P在⊙A上，点Q是y轴上C点下方的一点，当△PQM为等腰直角三角形时，请直接写出满足条件的点Q坐标．

Answer

（1）由图可得，AM2=AC2+MC2，且AC=3，MC=4，代入可得；
（2）只要证明AB2=AM2+BM2，由图可得出，BM2=MC2+BC2，由AB=，MC=4，BC=，代入即可求出；
（3）题目分为3种情况：①PQ=QM，②PM=MQ，③PQ=PM；点M（4，4），点P（5cosA，5sinA），Q（0，y）；
【解析】
（1）连接AM，作MD⊥OB，由点M（4，4），A（1，0），
∴|AM|==5，
即，⊙A的半径为5；
把点M（4，4）代入y=-x+b得，4=-×4+b，
解得，b=7；

（2）由图得，0=-x+7，得x=，
即OB=，
∴AB=-1=，BD=-4=，
∴AM2+MB2=52+42+=，
AB2==，
∴∠AMB=90°，
∴直线BC与⊙A相切；

（3）①当∠PQM=90°时，
∵M（4，4），
∴∠MOB=45°，
∴过点M作MP⊥OB于P，
点Q与点O重合，
∴∠PQM=90°；
∴Q（0，0）；
②过点M作MN⊥y轴，MD⊥x轴，
当△MNQ≌△MDP时，∠PMQ=90°，
∴NQ=PD=2，MQ=MP，
∴Q（0，2）；
③当∠QPM=90°时，P在y的左方，如图，设P（m，n），Q（0，b）可得：
（I）4-m=n-b，（II）4-n=-m，（III）（1-m）2+n2=52，
解方程组得，b=2，b=-8（b=2也符合条件，虽与②中b同，但直角不同），
第二情况：P在y的右方，同理得：
（I）m-4=n-b，（II）4-n=m，（III）（1-m）2+n2=52，
解方程组得，b=3+ （舍去），b=3-．
综合上述：Q的坐标是（0，0）或（0，2）或（0，-8）或（0，3-）．