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如图,已知抛物线y=manfen5.com 满分网x2-2x+1的顶点为P,A为抛物线与y轴的交点,过A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B,与抛物线对称轴交于点O′,过点B和P的直线l交y轴于点C,连接O′C,将△ACO′沿O′C翻折后,点A落在点D的位置.
(1)求直线l的函数解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△DQC=S△DPB?若存在,求出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)根据题意,可以求得点P,A,B,O′的坐标,因为直线l过点B,P,所以利用待定系数法即可求得; (2)根据(1)的结果可求得点C的坐标,根据折叠的知识可得:∠CDO′=∠CAO′=90°,O′C是AD的垂直平分线,连接AD,作DF⊥AB于点F,利用相似三角形与直角三角形的性质即可求得; (3)显然,O′P∥AC,且O′为AB的中点, ∴点P是线段BC的中点,∴S△DPC=S△DPB. 故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.(7分) 过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC, 故m与抛物线的交点即符合条件的Q点. 据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=x-.根据题意还可求得,抛物线上存在两点Q1(2,-1)(即点P)和Q2(,),使得S△DQC=S△DPB. 【解析】 (1)配方,得y=(x-2)2-1, ∴抛物线的对称轴为直线x=2,顶点为P(2,-1).(1分) 取x=0代入y=x2-2x+1, 得y=1, ∴点A的坐标是(0,1). 由抛物线的对称性知,点A(0,1)与点B关于直线x=2对称, ∴点B的坐标是(4,1).(2分) 设直线l的解析式为y=kx+b(k≠0),将B、P的坐标代入, 有, 解得∴ ∴直线l的解析式为y=x-3.(3分) (2)连接AD交O′C于点E, ∵点D由点A沿O′C翻折后得到, ∴O′C垂直平分AD. 由(1)知,点C的坐标为(0,-3), ∴在Rt△AO′C中,O′A=2,AC=4, ∴O′C=2. 据面积关系,有×O′C×AE=×O′A×CA, ∴AE=,AD=2AE=. 作DF⊥AB于F,易证Rt△ADF∽Rt△CO′A, ∴, ∴AF=•AC=,DF=•O′A=,(5分) 又∵OA=1, ∴点D的纵坐标为1-=-, ∴点D的坐标为(,-).(6分) (3)显然,O′P∥AC,且O′为AB的中点, ∴点P是线段BC的中点, ∴S△DPC=S△DPB. 故要使S△DQC=S△DPB,只需S△DQC=S△DPC.(7分) 过P作直线m与CD平行,则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于S△DPC, 故m与抛物线的交点即符合条件的Q点. 容易求得过点C(0,-3)、D(,-)的直线的解析式为y=x-3, 据直线m的作法,可以求得直线m的解析式为y=x-. 令x2-2x+1=x-, 解得x1=2,x2=, 代入y=x-,得y1=-1,y2=, 因此,抛物线上存在两点Q1(2,-1)(即点P)和Q2(,),使得S△DQC=S△DPB.(9分) (仅求出一个符合条件的点Q的坐标,扣1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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