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如图所示,已知实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根,抛物线y=manfen5.com 满分网x2+bx+c交x轴于点A(m,0)和点B,交y轴于点C(0,m).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设点D为线段AB上的一个动点,过D作DE∥BC交AC于点E,又过D作DF∥AC交BC于点F,当四边形DECF的面积最大时,求点D的坐标;
(3)设△AOC的外接圆为⊙G,若M是⊙G的优弧ACO上的一个动点,连接AM、OM,问在这个抛物线位于y轴左侧的图象上是否存在点N,使得∠NOB=∠AMO?若存在,试求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)解方程可求得m的值,即可确定A、C的坐标,将它们代入抛物线的解析式中,即可求得待定系数的值. (2)欲求四边形CEDF的面积最大值,需将面积问题转化为二次函数的最值问题;可设出D点的横坐标,即可表示出DB、AD的长,易证得△BFD、△AED都与△ABC相似,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得到△BFD和△DEA的面积表达式,而平行四边形CEDF的面积为△ABC、△BFD、△DEA的面积差,由此可得到关于平行四边形CEDF的面积和D点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求得四边形CEDF的面积最大值及对应的D点坐标. (3)根据A、C的坐标,易知△AOC是等腰直角三角形,那么G为AC的中点,假设存在符合条件的N点,由于N在y轴左侧,那么∠NOB<90°,若∠AMO=∠NOB,那么∠AMO必为锐角,即M在劣弧OC上;根据圆周角定理知∠AMD=∠OCA=45°,那么∠NOB=45°,即N点的横、纵坐标的绝对值相等,再联立抛物线的解析式,即可求得N点的坐标. 【解析】 (1)∵实数m是方程x2-8x+16=0的一个实数根, ∴m=4; 即A(4,0)、C(0,4),代入抛物线的解析式中,可得: , 解得; ∴抛物线的解析式为:y=x2+x+4; (2)易知:B(-2,0),则AB=6,S△ABC=AB•OC=12; 设点D的坐标为:(d,0),则BD=d+2,AD=4-d; ∵DF∥AC, ∴△BDF∽△BAC, ∴=; ∵S△ABC=12, ∴S△BDF=(d+2)2; 同理可求得:S△ADE=(4-d)2; ∴S▱CEDF=S△ABC-S△BDF-S△ADE =12-(d+2)2-(4-d)2 =-d2+d+=-(d-1)2+6; 故当d=1,即D(1,0)时,四边形CEDF的面积最大,且最大值为6. (3)如图: 由于A(4,0)、C(0,4),那么OA=OC=4,即△OAC是等腰直角三角形; 点N在y轴左侧,那么∠NOB<90°, 因此∠AMO也是锐角,即M在弧ACO上,由圆周角定理知:∠ACO=∠AMO=45°, 故∠NOB=∠AMO=45°; 设N点坐标为(m,n),则|m|=|n|; 当m=n时,N(m,m),代入抛物线的解析式中,得: m=m2+m+4,解得:m=-2(正值舍去); ∴N(-2,-2); 当m=-n时,N(m,-m),代入抛物线的解析式中, 得:-m=m2+m+4, 解得:m=2-2(正值舍去); ∴N(2-2,2-2); 综上所述,存在符合条件的N点,且N点坐标为:N(-2,-2)或(2-2,2-2).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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