Question

如图，直线y=-x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点A、C和点B（-1，0）．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；
（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O⇒A⇒C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O⇒C⇒A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动．设D、E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S．
①请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
③设S是②中函数S的最大值，那么S=______．

Answer

（1）先根据直线AC的解析式求出A、C两点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（2）根据抛物线的解析式可求出M点的坐标，由于四边形OAMC不是规则的四边形，因此可过M作x轴的垂线，将四边形OAMC分成一个直角三角形和一个直角梯形来求解．
（3）①如果DE∥OC，此时点D，E应分别在线段OA，CA上，先求出这个区间t的取值范围，然后根据平行线分线段成比例定理，求出此时t的值，然后看t的值是否符合此种情况下t的取值范围．如果符合则这个t的值就是所求的值，如果不符合，那么就说明不存在这样的t．
②本题要分三种情况进行讨论：
当E在OC上，D在OA上，即当0＜t≤1时，此时S=OE•OD，由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E在CA上，D在OA上，即当1＜t≤2时，此时S=OD×E点的纵坐标．由此可得出关于S，t的函数关系式；
当E，D都在CA上时，即当2＜t＜相遇时用的时间，此时S=S△AOE-S△AOD，由此可得出S，t的函数关系式；
综上所述，可得出不同的t的取值范围内，函数的不同表达式．
③根据②的函数即可得出S的最大值．
【解析】
（1）令y=0，则x=3，
∴A（3，0），C（0，4），
∵二次函数的图象过点C（0，4），
∴可设二次函数的关系式为y=ax2+bx+4．
又∵该函数图象过点A（3，0），B（-1，0），
∴，
解得a=-，b=．
∴所求二次函数的关系式为y=-x2+x+4．

（2）∵y=-x2+x+4
=-（x-1）2+
∴顶点M的坐标为（1，）
过点M作MF⊥x轴于F
∴S四边形AOCM=S△AFM+S梯形FOCM
=×（3-1）×+×（4+）×1
=10
∴四边形AOCM的面积为10．

（3）①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC，则点D，E应分别在线段OA，CA上，此时1＜t＜2，在Rt△AOC中，AC=5．
设点E的坐标为（x1，y1）
∴=，
∴
∵DE∥OC，
∴
∴
∵t=＞2，不满足1＜t＜2．
∴不存在DE∥OC．
②根据题意得D，E两点相遇的时间为（秒）
现分情况讨论如下：
（ⅰ）当0＜t≤1时，S=×t•4t=3t2；
（ⅱ）当1＜t≤2时，设点E的坐标为（x2，y2）
∴，
∴
∴S=×t×=-t2+t；
（ⅲ）当2＜t＜时，
设点E的坐标为（x3，y3），类似ⅱ可得
设点D的坐标为（x4，y4）
∴，
∴
∴S=S△AOE-S△AOD
=×3×-×3×
=-t+．
③当0＜t≤1时，S=×t•4t=3t2，函数的最大值是3；
当1＜t≤2时，S=-t2+t．函数的最大值是：，
当2＜t＜时，S=-t+，0＜S＜．
∴S=．