Question

如图，已知四边形ABCD是正方形，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、和DA上，连接EG和FH小明和小亮对这个图形进行探索，发现了很多有趣的东西，同时他俩又进一步猜想
小明说：如果EG和HF互相垂直，那么EG和HF一定相等；
小亮说：如果EG和HF相等，那么EG和HF一定互相垂直；
请你对小明和小亮的猜想进行判断，并说明理由．

Answer

如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，可通过证明△HFN≌△EGM，可证得小明的说法；通过作辅助线，找到与EG相等但不垂直的HF，即可证得小亮的说法．
证明：如图，作EM⊥CD于M，HN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，BC=AB，
∵EM⊥CD
∴四边形BCME是矩形，
∴EM=BC，
同理HN=AB，
∴EM=HN，
由题意可知FH⊥EG，EM⊥HN，
∴∠FHN+∠HOG=∠MEG+∠EON=90°，
∵∠EON=∠HOG，
∴∠FHN=∠MEG，
∴△HFN≌△EGM，
∴EG=HF；
小明的说法是正确的；
如图，在BC上找两个点F和F'，使BF'=CF取AD的中点H，连接FH和F'H，
易证HF=HF'，
作EG⊥HF'，其中点E在AB上，点G在CD上，
由上题可知EG=F'H=FH，
但HF和EG不互相垂直，
小亮的猜想是错误的．