Question

如图是二次函数y=（x+m）²+k的图象，其顶点坐标为M（1，-4）．
（1）求出图象与x轴的交点A，B的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点C，求△BCM的面积．
（3）在图中的抛物线上是否还存在点P，使得S_△PMB=S_△BCM？如果不存在，说明理由；如存在，请直接写出P点的个数．

Answer

（1）所给二次函数解析式是顶点式，而顶点坐标是（1，-4），易求m、k的值，再把所求m、k的值代入二次函数中，令y=0，解关于x的一元二次方程，可求x=3或x=-1，进而可得A、B的坐标；
（2）令二次函数中的x=0，易求y=-3，从而可得C点坐标（0，-3），由于B、C、M三点坐标都是已知的，根据两点之间的距离公式，易求BC=，BM=，CM=，而BC2+CM2=BM2，根据勾股定理逆定理可知△BCM是直角三角形，进而可求其面积；
（3）根据同底等高的三角形面积相等，那么过点C作BM的平行线，观察可知与抛物线有2个交点，故P点的个数是2．
【解析】
（1）根据题意，可得-m=1，k=-4，
解得m=-1，k=-4，
把m=-1，k=-4代入函数解析式，得
y=（x-1）2-4，
令y=0，得（x-1）2-4=0，
解得x=3或x=-1，
∴A点坐标是（-1，0），B点坐标是（3，0）；

（2）令x=0，得y=-3，
∴抛物线和y轴的交点C的坐标是（0，-3），
∵B（3，0），C（0，-3），M（1，-4），
∴BC=，BM=，CM=，
∴BC2+CM2=BM2，
∴△BCM是直角三角形，
∴S△BCM=××=3；

（3）过点C作BM的平行线，可观察与抛物线有两个交点，
故点P的个数是2．