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如图(1),将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中,∠A=90°,∠AOB=...

如图(1),将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中,∠A=90°,∠AOB=60°,OB=manfen5.com 满分网,斜边OB在x轴的正半轴上,点A在第一象限,∠AOB的平分线OC交AB于C.动点P从点B出发沿折线BC-CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动,运动时间为t秒,同时动点Q从点C出发沿折线CO-Oy以相同的速度运动,当点P到达点O时P、Q同时停止运动.
(1)OC、BC的长;
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t的函数关系式;
(3)当P在OC上、Q在y轴上运动时,如图(2),设PQ与OA交于点M,当t为何值时,△OPM为等腰三角形?求出所有满足条件的t值.
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(1)先在直角三角形AOB中根据OB和cos60°,利用三角函数的定义求出OA,然后根据角平分线的定义得到∠AOC等于30°,在△AOC中,利用OA和cos30°,由三角函数的定义即可求出OC的长,根据等角对等边可知BC等于OC; (2)分两种情况考虑:第一,P在BC边上,根据速度和时间t得到PB等于CQ都等于t,过Q作DE与AC垂直,QE等于CQsin60°,CP等于BC减去PB,利用三角形的面积公式即可列出S与t的函数关系式;第二,当P在边CQ上时,同理可得S与t的关系式; (3)分三种情况考虑:第一,OP为等腰三角形的底边时,由∠MOP等于∠MPO都等于30°,则∠QOP为60°,得到PQ与OQ垂直,根据30°所对的直角边等于斜边的一半得到OP等于2OQ,分别表示出OP和OQ代入即可得到关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;第二,当OP为等腰三角形的腰时,过P作PN⊥OQ,得到∠QPN=45°,所以△QPN为等腰直角三角形得到PN=QN,分别表示出PN和QN列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;第三,当OP=PM时,PQ∥y,不存在三角形. 【解析】 (1)∵∠AOB=60°, ∴在Rt△AOB中, , ∵OC平分∠AOB, ∴∠AOC=∠COB=30°, ∴, ∵∠COB=∠CBO=30°, ∴BC=OC=2; (2)当0<t≤2时,=, 当2≤t<4时=-t2+t-2, 综上:; (3)(i)当MO=MP时,∠MOP=∠MPO=30° ∴PQ⊥OQ, ∴OP=2OQ, ∴4-t=2(t-2), ∴; (ii)当OP=OM时,过P作PN⊥OQ于N, 则∠QPN=45°, ∴PN=QN, ∴,解得 (iii)当OP=PM时,PQ∥y, 此时∠MOP=∠OMP=30°, ∴∠MPO=120°, ∵∠QOP=60°, ∴此时不存在; 综上,当或时,△OPM为等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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