Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且DE⊥AD于D，∠EBC=∠CDE，∠ECB=45°．
（1）求证：AB=BE；
（2）延长BE，交CD于F．若CE=，tan∠CDE=，求BF的长．

Answer

（1）延长DE，交BC于G，通过证明△BEG≌△DCG（AAS），即可得出AB=BE；
（2）连接BD，可先证明BF⊥CD，求出△BCD的面积及CD的长，继而得出答案；或者利用△BEG∽△BFC，，将各边代入求解．
【解析】
（1）证明：延长DE，交BC于G．
∵DE⊥AD于D，∴∠ADE=90°
又AD∥BC，∴∠DGC=∠BGE=∠ADE=90°，（1分）
而∠ECB=45°，∴△EGC是等腰直角三角形，
∴EG=CG（2分）
在△BEG和△DCG中，
∴△BEG≌△DCG（AAS）（4分）
∴BE=CD=AB（5分）

（2）连接BD．
∵∠EBC=∠CDE，
∴∠EBC+∠BCD=∠CDE+∠BCD=90°，即∠BFC=90°
∵CE=，∴EG=CG（16分）
又tan∠CDE=，∴，∴DG=3（7分）
∵△BEG≌△DCG，∴BG=DG=3
∴
∴CD=BE=．（8分）
法一：∵，
∴（10分）
法二：经探索得，△BEG∽△BFC，∴，∴
∴．（10分）