Question

已知：在△ACB中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，

（1）如图1，AC=BC，点E为AC的中点，求证：EF=EG；
（2）如图2，BE平分∠CBE，AC=2BC，试探究线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．

Answer

（1）根据全等三角形的证明方法利用ASA得出△EFM≌△EGN，即可得出EF=EG；
（2）根据已知首先求出∠ENG=∠FEM，再得出∠ENG=∠EMF，即可得出△EFM∽△EGN，再利用相似三角形的性质得出答案即可．
证明：（1）如答图1，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴AD=CD，
∵点E为AC的中点，CD⊥AB，EN⊥DC，
∴EN=AD，
∴EM=CD，
∴EN=EM，
∵∠FEB=90°，∠MEN=90°，
∴∠NEG=∠FEM，
∴，
∴△EFM≌△EGN，（ASA）
则EF=EG

（2）如答图2，过E作EM⊥AB于M，EN⊥CD于N，
∵∠FEM+∠MEB=90°，∠NEG+∠BEM=90°，
∴∠ENG=∠FEM，
∵∠ENG=∠EMF，
∴△EFM∽△EGN，
则，
又∵BE平分∠ABC，∴CE=EM
∴，
可证，
∴．