Question

已知在等边三角形ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，且BD=AE，EB与CD相交于点O，EF⊥CD于点F．求证：OE=2OF．

Answer

先根据全等三角形的性质得出△ABE≌△BCD，由全等三角形的性质得出∠1=∠2，再根据三角形外角的性质求出∠BOD=60°，进而得出∠EOF=60°，由直角三角形的性质求出∠OEF的度数，故可得出结论．
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，
在△ABE与△BCD中，
∵，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠1=∠2，
∵∠ADO是△BCD的外角，
∴∠ADO=∠ABC+∠2=60°+∠2，
∵∠ADO是△BOD的外角，
∴∠ADO=∠1+∠BOD，
∵∠1=∠2，
∴∠BOD=∠ABC=60°，
∴∠EOF=60°，
∵EF⊥CD，
∴∠OEF=90°-∠EOF=90°-60°=30°，
∴OE=2OF．