Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为    ．

Answer

过圆心C作CF平行于OA，过P作PE垂直于x轴，两线交于F，由A和B的坐标得出OA及OB的长，利用勾股定理求出AB的长，由∠AOP=45°，得到三角形POE为等腰直角三角形，得到P的横纵坐标相等，设为（a，a），再由∠AOB=90°，利用圆周角定理得到AB为直径，外接圆圆心即为直径AB的中点，设为C，求出C的坐标，可得出PC=2，根据垂径定理求出EF的长，用PE-EF表示出PF，用P的横坐标减去C的横坐标，表示出CF，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，进而确定出P的坐标．
【解析】
∵OB=2，OA=2，
∴AB==4，
∵∠AOP=45°，
∴P点横纵坐标相等，可设为a，即P（a，a），
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（，1），
可得P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2，
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-，PC=2，
∴在Rt△PCF中，利用勾股定理得：（a-）2+（a-1）2=22，
舍去不合适的根，可得：a=1+，
则P点坐标为（+1，+1）．
∵P与P′关于圆心（，1）对称，
∴P′（-1，1-）．
故答案为：（+1，+1）或（-1，1-）