Question

如图是以点O为圆心的半圆，AB是半圆的一条弦，延长OB与过点A的直线交于点C，AB=BC=OB．
（1）试求∠C的度数．
（2）若 D是AC上一点，且AD=BD，试说明BD是⊙O的切线．
（3）在（2）的情况下，若圆O的半径为2，求BD的长．

Answer

（1）利用直角三角形的判定得出△OAC是直角三角形，再利用等腰三角形的性质得出，进而得出∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠BAD=∠ABD=30°，再利用切线的判定得出∠OBD=90°，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的判定得出△OAB为等边三角形，再利用锐角三角函数求出BD即可．
（1）【解析】
如图1，在△OAC中，
∵AB=BC=OB，
∴△OAC是直角三角形，即∠OAC=90°，
设∠C=x，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=x，
则∠OBA=2x，
∵OA=OB，
∴∠OAB=2x，
∴∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，
解得：x=30°，
故∠C等于30°．

（2）证明：如图1，
由（1）得：∠C=30°，
则∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是半径，
∴BD是⊙O的切线．

（3）【解析】
如图2，过点D作DE⊥AB于点E，
∵由（1）可得，AO=OB，∠OAB=∠OBA=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵圆O的半径为2，
∴AB=2，
∵AD=BD，∠ABD=30°，
∴AE=BE=1，
∴cos30°=，
故BD===．