Question

如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是（-4，0），点B在第二象限，点P是y轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
（1）连接DP，猜想△APD的形状，并加以说明；
（2）当点P运动到点时，求此时DP的长；
（3）是否存在点P，使△OPD的面积等于？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据旋转的性质可得，AD=AP，旋转角∠OAB=∠PAD=60°，即可得出；
（2）由AP=PD，所以，根据勾股定理求出AP的长，即可得出；
（3）本题分三种情况进行讨论，设点P的坐标为（0，t）：①当P在y轴正半轴上时，即t＞0时，在直角三角形DBG中，可根据BD即OP的长和∠DBG的正弦函数求出DG的表达式，即可求出DH的长，根据已知的△OPD的面积可列出一个关于t的方程，即可求出t的值．②当P在y轴负半轴，但D在x轴上方时．即＜t≤0时，方法同①类似，也是在直角△DBG用BD的长表示出DG，进而求出HD的长；③当P在x轴负半轴，D在x轴下方时，即t≤时，方法同②．
【解析】
（1）等边三角形，
理由是：∵把△AOP绕点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD．
∴AP=AD，∠OAP=∠DAB，
∵等边三角形AOB，
∴∠BAO=60°=∠OAP+∠PAB，
∴∠DAP=60°，
即△APD的形状是等边三角形．

（2）∵等边△APD，
∴DP=AP===；

（3）设P（0，t），假设存在P点，使△OPD的面积等于．下面分三种情况讨论：
①当t＞0时，如图，BD=OP=t，DG=t，
∴DH=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴t（2+t）=，
解得，（舍去），
∴点P1的坐标为（0，）．
②当＜t≤0时，如图，BD=OP=-t，BG=-t，
∴DH=2-（-t）=2+t．
∵△OPD的面积等于，
∴-t（2+t）=，
解得 t1=-，t2=-，
∴点P2的坐标为（0，-），点P3的坐标为（0，-）．
③当t≤时，如图，BD=OP=-t，DG=-t，
∴DH=-t-2．
∵△OPD的面积等于，
∴t（2+t）=，
解得 t1=（舍去），t2=，
∴点P4的坐标为（0，），
综上所述，点P的坐标分别为P1（0，）、P2（0，）、P3（0，-）、P4（0，）．