Question

如图，有一块含30°的直角三角板OAB的直角边长BO的长恰与另一块等腰直角三角板ODC的斜边OC的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且．
（1）若双曲线的一个分支恰好经过点A，求双曲线的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板绕点O按顺时针方向旋转后，斜边OA恰好与x轴重叠，点A落在点A′，试求图中阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer

（1）根据tan30°=，求出AB，进而求出OA，得出A的坐标，设过A的双曲线的解析式是y=，把A的坐标代入求出即可；
（2）求出∠AOA′，根据扇形的面积公式求出扇形AOA′的面积，求出OD、DC长，求出△ODC的面积，相减即可求出答案．
（1）【解析】
∵∠ABO=90°，OB=3，∠AOB=30°，
∴tan30°=，
∴AB=3，
∴OA=2AB=6，
∴A的坐标是（3，3），
设过A的双曲线的解析式是y=，
把A的坐标代入得：k=9，
∴双曲线的解析式是y=．

（2）【解析】
∵∠AOA′=90°-30°=60°，OA=6，
∴扇形AOA′的面积是：=6π，
∵△DOC是等腰直角三角形，OC=3，
∴sin45°=，
∴DC=OD=，
∴△ODC的面积是：×OD×DC=×=，
∵阴影部分的面积等于扇形的面积减去△ODC的面积，
∴阴影部分的面积是6π-．