Question

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求出图中阴影部分的面积．
（3）求切线OM的函数解析式．
（4）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由O点坐标及圆的半径，可知A（1，0），B（3，0），利用交点式求二次函数解析式；
（2）由切线的性质可知△OO1M直角三角形，又O1M=1，O1O=2，可知∠O1OM=30°，则∠OO1M=60°，利用扇形面积公式求图中阴影部分面积；
（3）过点M作MC⊥OB，垂足为C，解Rt△OO1M求OM，解Rt△OCM求OC，MC，确定M点坐标，设直线OM解析式为y=kx，将M点坐标代入求切线OM的函数解析式；
（4）存在，过A点分别作P1A⊥OB，P2A⊥OM，垂足为P2，解Rt△OAP1求OA，AP1，确定P1的坐标，利用AP2为△OO1M中位线确定P2的坐标．
【解析】
（1）∵O1的坐标为（2，0），O1A=O1B=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴抛物线解析式为：y=-（x-1）（x-3），即y=-x2+4x-3；

（2）∵OM为⊙O1的切线，切点为M，
∴△OO1M直角三角形，
又∵O1M=1，O1O=2，
∴∠O1OM=30°，
则∠OO1M=60°，
∴S阴影部分==；

（3）如图，过点M作MC⊥OB，垂足为C，
在Rt△OO1M中，∠O1OM=30°，OM=，O1M=1，
在Rt△OCM中，∠O1OM=30°，则OC=OMcos30°=，MC=OMsin30°=，
则M（，），
设直线OM解析式为y=kx，则=k，解得k=，
所以，切线OM的函数解析式为y=x；

（4）存在，
如图，过A点作P1A⊥OB交OM于P1，作P2A⊥OM，垂足为P2，
在Rt△OAP1中，OA=1，AP1=OAtan30°=，此时P1（1，），
∵AP2△OO1M中位线，∴P2（，），
∴所求P点坐标为：（1，）或（，）．