Question

已知直线与y轴交于点B（0，1），与抛物线交于x轴上一点A，且tan∠BAO=，而抛物线的顶点为P（-3，-3）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）设抛物线与x轴的另一交点为C，求△PAC的面积．

Answer

（1）设直线的解析式为：y=mx+n，把A和B的坐标分别代入求出m和n的值即可，设抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，由题意可知h=-3，k=-3，再把A的坐标代入即可求出a的值，进而求出抛物线的解析式；
（2）由（1）中的抛物线解析式可设y=0，即可求出点C的坐标，进而求出AC的长，又因为三角形PAB中，AC边上的高是点P的纵坐标的绝对值，利用三角形的面积公式即可求出△PAC的面积．
【解析】
（1）设直线的解析式为：y=mx+n，
∵线与y轴交于点B（0，1），与抛物线交于x轴上一点A，且tan∠BAO=，
∴OA=2，
∴A（-2，0），
把A和B的坐标分别代入y=mx+n得：
，
解得：，
∴直线的解析式为y=x+1，
设抛物线的解析式为：y=a（x-h）2+k，
∵抛物线的顶点为P（-3，-3），
∴y=a（x+3）2-3，
把A（-2，0）代入得：0=a（-2+3）2-3，
∴a=3，
∴y=3（x+3）2-3；

（2）设y=0，则0=3（x+3）2-3，
∴x=-2或-4，
∴点C（-4，0），
∴OC=4
∴AC=OC-OA=2，
∴△PAC的面积为：×AC×3=×2×3=3．