Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点坐标为，且．
（1）若该函数的图象经过点（-1，-1）．
①求使y＜0成立的x的取值范围．
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，求圆心的坐标．
（2）经过A（0，p）的直线与该函数的图象相交于M，N两点，过M，N作x轴的垂线，垂足分别为M₁，N₁，设△MAM₁，△AM₁N₁，△ANN₁的面积分别为S₁，S₂，S₃，是否存在m，使得对任意实数p≠0都有S₂²=mS₁S₃成立？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为，且，以及函数的图象经过点（-1，-1），得出关于a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值．
①画出图象，即可得出使y＜0成立的x的取值范围；
②根据圆与直线相切得出OQ=FO，再解一元二次方程即可得出；
（2）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M1和N1．分别表示出△MAM1，△AM1N1，△ANN1的面积S1，S2，S3再条件S22=mS1S3成立进而求出m的值．
【解析】
（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为，且，
又∵函数的图象经过点（-1，-1），
代入二次函数解析式得：
，
解得：，
y=-x2-，
①利用函数图象可知使y＜0成立的x的取值范围是：全体实数；
②若圆心在该函数的图象上的圆与x轴、y轴都相切，
假设与x轴切点为Q，与y轴切点为F，
∴OQ=FO，
∴-x=-x2-，
整理得：x2-2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∴QO=FO=1，
∴圆心的坐标为：（1，-1）或（-1，-1）；

（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为，且．
∴该二次函数的解析式为：y=x2+，
∵过点A的直线与函数y=x2+的图象交于M（x1，y1），N（x2，y2），
∴过点A的直线对应的函数为y=kx+p，
S1=|x1|•|y1|，
S2=|x1-x2|•|p|，
S3=|x2||y2|，
把y=kx+p代入y=x2+得，x2-2pkx-p2=0，
∴x1+x2=2pk，x1x2=-p2，
∴S1S3=|x1x2y1y2|=p2|（kx2+p）（kx2+p）|=p4（k2+1），
S22=（x2-x1）2p2=p4（k2+1）．
∴4S1S3=S22，故存在m=4，使得对任意实数p≠0成立．