Question

如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）已知顶点坐标，又抛物线经过原点，用待定系数可求出抛物线解析式；
（2）①根据抛物线的对称性求出E点坐标，再求出直线ME的解析式，把t知代入验证点P是否在直线ME上；
②最后一问设出P，N坐标，根据几何关系求出PN，然后分两种情况讨论：（1）PN=0；（2）PN≠0；把求多边形面积S转化为求函数最值问题．
【解析】
（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0，0），
∴得a（0-2）2+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4，
即y=-x2+4x．（4分）

（2）①点P不在直线ME上．（5分）
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），
又M的坐标为（2，4），
设直线ME的关系式为y=kx+b．
于是得，
解得
所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分）
由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，
∴P（，）（7分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8．
∴当t=时，点P不在直线ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t．
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t）
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t（10分）
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=DC•AD=×3×2=3．（11分）
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t-）2+
其中（0＜t＜3），由a=-1，0＜＜3，此时S最大=．（12分）
综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为．（13分）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合．