Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，且BC=2．以CD为直径作⊙O₁交AD于点E，过点E作EF⊥AB于点F．建立如图所示的平面直角坐标系，已知A、B两点坐标分别为A（2，0），B（0，）．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）求证：EF为⊙O₁的切线；
（3）线段CD上是否存在点P，使以点P为圆心，PD为半径的⊙P与y轴相切．如果存在，请求出P点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）连CE，根据圆周角定理的推论得到CE⊥DE，再根据等腰梯形的性质得DE=OA=2，则OD=2+2=4，即可写出C点坐标和D点坐标；
（2）AB=4，易得∠DCE=30°，则∠CDE=∠A=60°，得到△O1DE为等边三角形，则∠O1ED=60°，而EF⊥AB，有∠FEA=30°，于是∠O1EF=90°，根据切线的判定即可得到结论；
（3）设⊙与y轴相切于F，连PF，过C作CE⊥x轴与E，交PF于H，⊙P的半径为R，根据切线的性质得PF⊥y轴，则PD=PF=R，所以有PH=R-2，PC=4-R，DE=2，易证得Rt△CPH∽Rt△CDE，理由相似比可求出R和CH，可得到HE，即可写出P点坐标．
（1）【解析】
连CE，如图，
∵CD为⊙O1的直径，
∴CE⊥DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，BC=2，A（2，0），B（0，）．
∴DE=OA=2，
∴OD=2+2=4，
∴C点坐标为（-2，2），D点坐标为（-4，0）；

（2）证明：∵DE=2，DC=AB==4，
∴∠DCE=30°，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴△O1DE为等边三角形，
∴∠O1ED=60°，
而EF⊥AB，
∴∠FEA=30°，
∴∠O1EF=90°，
∴EF为⊙O1的切线；

（3）存在．理由如下：
设⊙P与y轴切与F，连PF，过C作CE⊥x轴与E，交PF于H，⊙P的半径为R，如图，
∴PF⊥y轴，
∴PD=PF=R，
∴PH=R-2，PC=4-R，DE=2，
易证得Rt△CPH∽Rt△CDE，
∴==，即==，解得R=，CH=，
∴HE=2-=，
∴P点坐标为（-，）．