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如图,AB是⊙O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合...

如图,AB是⊙O的直径,点M是半径OA的中点,点P在线段AM上运动(不与点M重合).点Q在上半圆上运动,且总保持PQ=PO,过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.
(1)当∠QPA=90°时,判断△QCP是______三角形;
(2)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;
(3)由(1)、(2)得出的结论,进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是______三角形.

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(1)当∠QPA=90°时,由于∠QPO=∠QPA=90°,PQ=PO,则△OPQ是等腰直角三角形,∴∠QOA=45°.又由于OQ⊥CQ,所以∠C=45°,即△PQC是等腰直角三角形; (2)由等边对等角和三角形的外角与内角的关系知,∠C=90°-∠QOC=90°-30°=60°,故△QCP是等边三角形; (3)由于一直存在∠PQC=90°-∠OQP,∠C=90°-∠QOC,而∠QOC=∠OQP,∴∠C=∠PQC.故△QCP一定是等腰三角形. 【解析】 (1)等腰直角三角形; (2)当∠QPA=60°,△QCP是等边三角形. 证明:连接OQ. CQ是⊙O的切线, ∴∠OQC=90°. ∵PQ=PO, ∴∠PQO=∠QOP. ∴∠QOP+∠QCO=90°,∠OQP+∠CQP=90°, ∴∠QCO=∠CQP. ∴PQ=PC. 又∠QPA=60°, ∴△QCP是等边三角形; (3)等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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