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已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将...

已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D.
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(1)若折叠后使点B与点O重合,则点C的坐标为______;若折叠后使点B与点A重合,则点C的坐标为______
(2)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围;
(3)若折痕经过点O,请求出点B落在x轴上的点B′的坐标;
(4)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,且使DB′⊥OA,求此时点C的坐标.
(1)根据对折得出OC=BC,根据OB=4求出即可;连接AC,推出BC=AC,设OC=a,则AC=BC=4-a,在Rt△ACO中,由勾股定理得出方程,求出方程的解即可; (2)连接B′C,得出BC=B′C=4-y,在Rt△B′OC中,由勾股定理得出方程y2+x2=(4-y)2,由(1)即可得出x的范围,求出即可; (3)根据已知得出BO=B′O,即可得出答案; (4)连接B′C,设OB′=x,OC=y,求出B′C∥BD,推出△OB′C∽△OAB,得出=,求出y=2x,在Rt△COB′中,由勾股定理得出x2+(2x)2=(4-2x)2,求出x即可. (1)【解析】 如图(1),∵OB=4,延CD折叠后使点B与点O重合, ∴OC=BC=OB=2, ∴C的坐标是(0,2), 如图(2)连接AC, ∵OB=4,延CD折叠后使点B与点A重合, ∴BC=AC, 设OC=a,则AC=BC=4-a,在Rt△ACO中,由勾股定理得:OC2+OA2=AC2, a2+22=(4-a)2, 解得:a=, 即C(0,), 故答案为:(0,2),(0,). (2)【解析】 如图(3)连接B′C, ∵延CD折叠后使点B与点B′重合, ∴BC=B′C=4-y, 在Rt△B′OC中,由勾股定理得:OC2+OB′2=B′C2, y2+x2=(4-y)2, 即y=-x2+2,y的取值范围是≤y<2. (3)【解析】 如图(4) ∵若折痕经过点O(C和O重合),点B落在x轴上的点B′, ∴OB=OB′=4, 即B′的坐标是(4,0). (4)【解析】 如图(5)连接B′C, 设OB′=x,OC=y, ∵延CD折叠B和B′重合, ∴BC=B′C,BD=B′D, ∴∠CBB′=∠CB′B,∠DBB′=∠DB′B, ∵B′D⊥OA,∠AOB=90°, ∴B′D∥OB, ∴∠CBB′=∠BB′D, ∴∠CBB′=∠B′BD, ∴B′C∥BD, ∴△OB′C∽△OAB, ∴=, ∴=, 即y=2x, ∴OB′=x,OC=2x,BC=4-2x=B′C, 在Rt△COB′中,由勾股定理得:x2+(2x)2=(4-2x)2, ∵x为边长, ∴x>0, 解方程得:x=4-8,2x=-16+8, ∴C的坐标是(0,-16+8).
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考点分析:
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(1)当∠QPA=90°时,判断△QCP是______三角形;
(2)当∠QPA=60°时,请你对△QCP的形状做出猜想,并给予证明;
(3)由(1)、(2)得出的结论,进一步猜想,当点P在线段AM上运动到任何位置时,△QCP一定是______三角形.

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(1)问师生何时回到学校?
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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