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已知抛物线的顶点坐标为manfen5.com 满分网,且经过点C(1,0),若此抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴的交点为点A,设P、Q分别为AB、OB边上的动点,它们同时分别从点A、O向B点匀速运动,速度均为每秒1个单位,设P、Q移动时间为t(0≤t≤4)
(1)求此抛物线的解析式并求出P点的坐标(用t表示);
(2)当△OPQ面积最大时求△OBP的面积;
(3)当t为何值时,△OPQ为直角三角形?
(4)△OPQ是否可能为等边三角形?若可能请求出t的值;若不可能请说明理由,并改变点Q的运动速度,使△OPQ为等边三角形,求出此时Q点运动的速度和此时t的值.

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(1)将抛物线的解析式设为顶点式,再将C点坐标代入该解析式中,即可求得待定系数的值.求解P点坐标时,可过P作y轴的垂线,通过构建的相似三角形求出P点的横、纵坐标. (2)在(1)中求得P点坐标,以OQ为底、P点纵坐标为高求出关于△OPQ的面积和t的函数关系式,根据所得函数的性质求出△OPQ的面积最大值时,对应的t值;由此能得到AP的长,△OPB和△AOB中,若以BP、AB为底,那么它们的高相同,底的比就是面积的比,由此得解. (3)此题分两种情况:∠OQP=90°或∠OPQ=90°;第一种情况,PQ∥y轴,利用相应的比例线段即可求出t的值;后一种情况可利用勾股定理来进行求解. (4)若△OPQ为等边三角形,Q点运动速度必须满足OQ等于P点横坐标的2倍(P点在线段OQ的中垂线上),然后根据等边三角形的性质求出对应的t值. 【解析】 (1)设抛物线的解析式为:y=a(x-)2-,代入点(1,0),得:a=; ∴y=(x-)2-. 令y=0得:x1=4,x2=1,∴B(4,0). 令x=0得:y=3,∴A(0,3),AB=5. 如右图,过点P作PM⊥y轴,垂足为点M,则: ==,得:== ∴AM=t,PM=t ∴P(t,3-t). (2)如图,过点P作PN⊥x轴,垂足为点N, S△OPQ=OQ•PN=t•(3-t)=t-t2=-(t-)2+ ∴当t=时,S△OPQ最大=. 此时OP为AB边上的中线 ∴S△OBP=S△AOB=××3×4=3. (3)若∠OQP=90°,则 =, ∴=,得t=0(舍去). 若∠OPQ=90°,则OP2+PQ2=OQ2, ∴(3-t)2+(t)2+(3-t)2+(t)2=t2 解得:t1=3,t2=15(舍去). 当t=3时,△OPQ为直角三角形. (4)∵OP2=(3-t)2+(t)2,PQ2=(3-t)2+(t)2; ∴OP≠PQ, ∴△OPQ不可能是等边三角形. 设Q点的速度为每秒k个单位时,△OPQ为等边三角形 ∴kt=2•t,得 k= ∵PN=OP=•t=t ∴3-t=t,得t=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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