Question

已知：抛物线y=a（x-2）²+b（ab＜0）的顶点为A，与x轴的交点为B，C（点B在点C的左侧）．
（1）直接写出抛物线对称轴方程；
（2）若抛物线经过原点，且△ABC为直角三角形，求a，b的值；
（3）若D为抛物线对称轴上一点，则以A，B，C，D为顶点的四边形能否为正方形？若能，请写出a，b满足的关系式；若不能，说明理由．

Answer

（1）根据y=a（x-2）2+b直接得出答案；
（2）根据直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0），以及抛物线经过原点，得出B（0，0），C（4，0），进而求出AE=BE=EC，当抛物线的顶点为A（2，-2）时，以及当抛物线的顶点为A′（2，2）时求出即可；
（3）根据B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形，即可求出．
【解析】
（1）抛物线对称轴方程：x=2．（2分）

（2）设直线x=2与x轴交于点E，则E（2，0）．
∵抛物线经过原点，
∴B（0，0），C（4，0）．（3分）
∵△ABC为直角三角形，根据抛物线的对称性可知AB=AC，
∴AE=BE=EC，
∴A（2，-2）或（2，2）．
当抛物线的顶点为A（2，-2）时，y=a（x-2）2-2，
把（0，0）代入，得：，
此时，b=-2．（5分）
当抛物线的顶点为A′（2，2）时，y=a（x-2）2+2，
把（0，0）代入，得：，此
时，b=2．
∴，b=-2或，b=2．（7分）

（3）依题意，B、C关于点E中心对称，当A，D也关于点E对称，且BE=AE时，四边形ABDC是正方形．
∵A（2，b），
∴AE=|b|，
∴B（2-|b|，0），
把B（2-|b|，0）代入y=a（x-2）2+b，得ab2+b=0，
∵b≠0，
∴ab•b+b=0，
∴ab=-1．（10分）