Question

如图，△ABC是Rt△，∠CAB=30°，BC=1，以AB、BC、AC为边分别作3个等边△ABF，△BCE，△ACD．过F作MF垂直DA的延长线于点M，连接并延长DE交MF的延长线于点N．那么tan∠N=    ．

Answer

作EG⊥MN于点G，在直角△ABC中，利用三角函数即可求得AB、AC的长度，从而求得DM、EF的长，在直角△EFG中，利用三角函数求得FG的长，EG的长度，然后利用△DMN∽△EGN，相似三角形的对应边的比相等，即可求得MN的长，然后利用正切函数的定义即可求解．
【解析】
作EG⊥MN于点G．
∵在直角△ABC中，BC=1，∠CAB=30°，
∴AB=2，AC=，
∵△ABF，△BCE，△ACD是等边三角形，
∴AD=AC=，AM=AB=BF=AF=2，BE=BC=1，
∵在直角△AMF中，∠MAF=30°，AF=AB=2，
∴AM=，MF=1，
∴DM=AD+AM=+=2，EF=BE+BF=1+2=3，
又∵直角△EFG中，∠FEG=30°，
∴FG=EF=，EG=，
∴MG=1+=，
∵EG∥DM，
∴△DMN∽△EGN，
∴=，设GN=x，
∴=，
解得：x=，则MN=+=10，
∴tanN===．
故答案是：．