Question

点D为Rt△ABC的斜边AB上一点，点E在AC上，连接DE，CD，且∠ADE=∠BCD，CF⊥CD交DE的延长线于点F，连接AF
（1）如图1，若AC=BC，求证：AF⊥AB；
（2）如图2，若AC≠BC，当点D在AB上运动时，求证：AF⊥AB．

Answer

（1）根据∠ADE=∠BCD可得出∠FDC=∠B=45°，进而可得到△CDB≌△CAF，由全等三角形的性质即可得出AF⊥AB；
（2）先根据相似三角形的判定定理得出△ACB∽△FDC，进而得出△BCD∽△ACF，再由相似三角形的性质即可得出结论．
证明：（1）∵∠ADE=∠BCD，
∴∠FDC=∠B=45°，
∴CD=CF，
∴△CDB≌△CAF，
∴∠CAF=45°，
∴AF⊥AB；

（2）∵∠ADE=∠BCD，
∠ACD+∠DCB=90°，
∠DCA+∠ACF=90°，
∴∠ACF=∠BCD=∠ADF，
∵∠AED=∠CEF，
∴∠BAC=∠CFD，
∵∠ACB=∠DCF=90°，
∴△ACB∽△FDC，
∴，
∴△BCD∽△ACF，
∴∠B=∠CAF，
∴AF⊥AB．