Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．
求证：（1）BC平分∠PBD；
（2）BC²=AB•BD．

Answer

（1）连接OC．可发现∠OCB和∠DBC同为∠DCB的余角，而∠OCB=∠OBC，由此可得∠OBC=∠DBC，即BC平分∠PBD；
（2）连接AC．证明△ABC∽△CBD即可．
证明：（1）连接OC．（1分）
∵PD切⊙O于点C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD．
∴∠1=∠3．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠2=∠3．（3分）
∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（5分）
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD；（7分）
∴，∴BC2=AB•BD．（8分）