Question

如图，已知平行于y轴的动直线a的解析式为x=t，直线b的解析式为y=x，直线c的解析式为y=-x+2，且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方），P是y轴上一个动点，且满足△PDE是等腰直角三角形，则点P的坐标是    ．

Answer

由于x=t，分别代入y=x，y=-x+2，可得E点坐标为（t，-t+2），D点坐标为（t，t）．由于E在D的上方，
故DE=-t+2-t=-t+2，且t＜．
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
由于x=t是动直线故应分三种情况讨论：
①t＞0时，PE=DE时，PE，DE，PD，分别为斜边的情况；-t+2=t，求出P点坐标；
②若t＜0，PE=DE和PD=DE时；
③若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边．
【解析】
∵当x=t时，y=x=t；当x=t时，y=-x+2
=-t+2．
∴E点坐标为（t，-t+2），D点坐标为（t，t）．
∵E在D的上方，
∴DE=-t+2-t
=-t+2，且t＜．
∵△PDE为等腰直角三角形，∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．
t＞0时，PE=DE时，-t+2=t，
∴t=，-t+2=．∴P点坐标为（0，）．
①若t＞0，PD=DE时，-t+2=t，
∴t=．∴P点坐标为（0，）．
②若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，∴-t+2=2t
∴t=，DE的中点坐标为（t，t+1），∴P点坐标为（0，）．
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-t+2=-t，t=4＞0
（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．
③若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-t+2=-2t，
∴t=-4，t+1=0，∴P点坐标为（0，0）
综上所述：当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为或（0，）；
当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．