Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=分别交x轴、y轴于A、B两点．点C（4，0）、D（8，0），以CD为一边在x轴上方作矩形CDEF，且CF：CD=1：2．设矩形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
（1）求点E、F的坐标；
（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式；
（3）若在直线y=上存在点Q，使∠OQC等于90°，请直接写出b的取值范围．

Answer

（1）两点的坐标，根据矩形的性质求出E、F的坐标．
（2）要求面积，有几种情况：①0＜b≤2  ②2＜b≤4  ③4＜b≤6  ④b＞6
根据直角三角形的直角关系以及面积公式求解．
（3）找到极点位置就可．
【解析】
（1）∵C（4，0）D（8，0），
∴CD=4，
∵矩形CDEF，且CF：CD=1：2
∴CF=DE=2，
∵E、F在第一象限
∴E（8，2）F（4，2）；

（2）由题意知：A（2b，0）B（0，b）在直角三角形ADH中，tan∠BAO=
①当0＜b≤2时，如图，S=0
②当2＜b≤4时，如图，设AB交CF于G，AC=2b-4
∵在直角三角形中，tan∠BAO=∴CG=b-2
∴S=，即S=b2-4b+4
③当4＜b≤6，如图，设AB交EF于点G
AD=2b-8
∵在直角三角形ADH中，tan∠BAO=
∴DH=b-4  EH=6-b
在矩形CDEF中
∵CD∥EF
∴∠EGH=∠BAO
在直角三角形EGH中tan∠EGH=
∴EG=12-2b
∴S=2×4-=-b2+12b-28
④当b＞6时，如图，S=8；

（3）设Q（x，-x+b），
∵∠OQC=90°，
∴OQ2+CQ2=OC2，
∴[x2+（-x+b）2]+[（x-4）2+（-x+b）2]=16，
∵存在Q，
∴△≥0，
求得：b≤+1，
由已知可得：0＜b≤．