Question

已知抛物线与x轴交于不同的两点A（x₁，0）和B（x₂，0），与y轴交于点C，且x₁，x₂是方程x²-2x-3=0的两个根（x₁＜x₂）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可通过解方程求出A、B的坐标，代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．（由于A、B的坐标是方程的两个根，那么抛物线的解析式其实就是二次项系数与方程的代数式部分的乘积）．
（2）可将四边形分成三角形ABC和ABD两部分求解，已知了AB的长，关键是求出C、D的坐标，根据抛物线的解析式即可得出C点的坐标．求D点坐标时，可先求出直线BC的解析式，根据BC∥AD，那么直线AD与直线BC的斜率相同，根据A点坐标即可求出直线AD的解析式，联立抛物线即可求出D点的坐标，然后按上面所说的四边形的面积求法进行计算即可．
（3）先根据直线AC、BC的解析式设出P、Q的坐标（由于P、Q的纵坐标相同，因此可设纵坐标，然后根据直线解析式表示出横坐标）．分三种情况：
①PQ=PR，此时P点纵坐标与PQ的长相等，据此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．
②PQ=QR，同①
③PR=QR，R在PQ的垂直平分线上，此时P点的纵坐标是PQ的一半．由此可求出P点的坐标．进而可求出R的坐标．
【解析】
（1）解方程x2-2x-3=0，
得x1=-1，x2=3．
∴点A（-1，0），点B（3，0）．
∴，
解，得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2．

（2）∵抛物线与y轴交于点C．
∴点C的坐标为（0，2）．
又点B（3，0），可求直线BC的解析式为y=-x+2．
∵AD∥CB，
∴设直线AD的解析式为y=-x+b′．
又点A（-1，0），
∴b′=-，直线AD的解析式为y=-x-．
解，
得，
∴点D的坐标为（4，）．
过点D作DD’⊥x轴于D’，DD’=，则又AB=4．
∴四边形ACBD的面积S=AB•OC+AB•DD’=．

（3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m），
∵点P不与点A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵点A（-1，0），点C（0，2），
∴可求直线AC的解析式为y=2x+2，
∴点P（m-1，m）．
∵直线BC的解析式为y=-x+2，
∴点Q（-m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①当RQ为底时，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
∴-2m+4=m，
解得m=，
∴点P（-，），
∴点R1坐标为（，0）．
②当RP为底时，过点Q作QR2⊥x轴于点R2，
同理可求，点R2坐标为（1，0）．
③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3，
则PR3=QR3，∠PR3Q=90度．
∴PQ=2R3S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴点P（-，1），点Q（，1），可求点R3坐标为（，0）．
经检验，点R1，点R2，点R3都满足条件．
综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R1（，0），R2（1，0）和点R3（，0）．