Question

如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，交OC于点E，连接CD，OD．给出以下四个结论：①S_△DEC=S_△AEO；②AC∥OD；③线段OD是DE与DA的比例中项；④2CD²=CE•AB．其中结论正确的是（ ）

A．①②③
B．①②④
C．②③
D．②④

Answer

①过点E作EM⊥AC于点M，易得CE：OE=：1，又由△DCE的高＜△AOE的高OA，可得S△DEC＜S△AEO；
②易求得∠CAD=∠DAO=∠CAB，则可证得AC∥OD；
③可证得∠DAB=∠CAD=∠COD，即可得△DOE与△DAO不相似，则可得线段OD不是DE与DA的比例中项；
④可证得△CED∽△CDO，由相似三角形的对应边成比例，即可得到2CD2=CE•AB．
【解析】
①过点E作EM⊥AC于点M，
∵AO=CO，AO⊥CO，
∴∠CAO=∠ACO=45°，
∴CM=ME，
∵AD平分∠CAB分别交OC于点E，EO⊥AO，EM⊥AC，
∴ME=EO，
∴CM=ME=EO，
∴CE=ME=EO，
∴CE：OE=：1，
∵OA=OB，
∴△DCE的高＜△AOE的高OA，
∴S△DEC＜S△AEO，
故①错误．
②∵AB是半圆直径，
∴AO=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，
∴∠CAD=∠ADO，
∴AC∥OD，
∴②正确．
③∵AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠DAB=∠CAD=∠COD，
∴△DOE与△DAO不相似，
∴OD2≠DE•AD，
即线段OD不是DE与DA的比例中项，
故③错误．
④∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于点D，
∴∠COD=×90°=45°，
∴∠CAD=×45°=22.5°，
∵AB是半圆直径，
∴OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=67.5°，
∵∠CAD=∠ADO=22.5°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ADO=67.5°-22.5°=45°，
∴△CED∽△CDO，
∴CD：OC=CE：CD，
∴CD2=OC•CE=AB•CE，
∴2CD2=CE•AB．
∴④正确．
综上所述，只有②④正确．
故选D．