Question

如图，弦AB交圆O的直径CD于点H，且AH=BH，作△AHD关于直线AD的轴对称△AED，延长AE交CD的延长线于点P．
（1）试说明：AE为圆O的切线；
（2）已知PA=2，PD=1，求圆O的半径．

Answer

（1）连接OA，根据垂径定理求出AB⊥CD，求出AE⊥DE，∠ADE=∠ADH，求出∠OAD=∠ADE，推出OA∥DE，求出OA⊥AP，根据切线的判定推出即可；
（2）设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，由勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
（1）证明：连接OA，
∵CD是直径，AH=BH，
∴AB⊥CD，
由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠AED=∠AHD=90°，∠ADO=∠ADE，
又∵OA=OD（圆的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角），
∴∠OAD=∠ADE（等量代换），
∴OA∥DE（内错角相等，两直线平行），
∴∠OAP=90°，
又∵点A在圆上，
∴AE为⊙O的切线．

（2）【解析】
设⊙O的半径为x，在Rt△AOP中，
OA2+AP2=OP2，
x2+22=（x+1）2，
解得：x=1.5．
即⊙O的半径为1.5．