Question

某宾馆有若干间住房，住宿记录提供了如下信息：
（1）4月17日全部住满，一天住宿费收入为12000元；
（2）4月18日有20间房空着，一天住宿费收入为9600元；
（3）该宾馆每间房每天收费标准相同．
①一个分式方程，求解该宾馆共有多少间住房，每间住房每天收费多少元？
②通过市场调查发现，每间住房每天的定价每增加10元，就会有5个房间空闲；己知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元，有顾客居住房间每天每间支出费用20元，问房价定为多少元时，该宾馆一天的利润为11000元？（利润=住宿费收入-支出费用）
③在（2）的计算基础上，你能发现房价定为多少元时，该宾馆一天的利润最大？请直接写出结论．

Answer

①设每间住房每天收费x元，由信息（1）可知该宾馆共有住房间，由信息（2）可知该宾馆有顾客居住的房间间，根据该宾馆的住房间数不变列出分式方程，求解即可；
②根据利润的计算方法，设每间房的房价为y元，分别表示每间利润和住房间数及支出费用，根据该宾馆一天的利润为11000元得方程求解；
③设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据利润的计算方法，列出w关于a的函数关系式，再根据函数的性质即可求解．
【解析】
①设每间住房每天收费x元，根据题意，得
=+20，
解得x=120，
经经验，x=120是原方程的根．
12000÷120=100．
答：该宾馆共有100间住房，每间住房每天收费120元；

②设每间房的房价为y元，根据题意，得
（y-20）（100-×5）-10××5=11000，
解得：y1=160，y2=170．
答：房价定为160元或170元时，该宾馆一天的利润为11000元；

③设房价定为每间a元时，该宾馆一天的利润为w元，根据题意，得
w=（a-20）（100-×5）-10××5
=-a2+165a-2600
=-（a-165）2+11012.5，
∴当房价定为165元时，该宾馆一天的利润最大，为11012.5元．