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(1)填表: n(凸多边形的边数) 3 4 5 … m(凸多边形中角度等于135...

(1)填表:
n(凸多边形的边数)345
m(凸多边形中角度等于135°的内角个数的最大值)________________________
(2)猜想给定一个正整数n,凸n边形最多有m个内角等于135°,则m与n之间有怎样的关系?
(3)取n=7验证你的猜想是否成立?如果不成立,请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°?并说明理由.
(1)根据三角形、四边形、五边形的内角和,可求得答案; (2)根据(1)可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为:n-2; (3)设凸n边形最多有m个内角等于135°,则每个135°内角的外角都等于45°,由凸n边形的n个外角和为360°,可得k≤=8,只有当n=8时,m才有最大值8,即可得当3≤n≤5时,凸n边形最多有n-2个内角等于135°;当6≤n≤7时,凸n边形最多有n-1个内角等于135°;当n=8时,凸n边形最多有8个内角等于135°;当n>8时,凸n边形最多有7个内角等于135°. 【解析】 (1)∵三角形中只有一个钝角, ∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1; ∵四边形的内角和为360°, ∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2; ∵五边形的内角和为540°, ∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3; 故答案为:1,2,3; (2)由(1)得:凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为:n-2. 即m=n-2; (3)取n=7时,m=6,验证猜想不成立; 设凸n边形最多有m个内角等于135°,则每个135°内角的外角都等于45°, ∵凸n边形的n个外角和为360°, ∴k≤=8,只有当n=8时,m才有最大值8, 讨论n≠8时的情况: (1)当时n>8,显然,m的值是7; (2)当n=3,4,5时,m的值分别为1,2,3; (3)当n=6,7时,m的值分别为5,6; 综上所述,当3≤n≤5时,凸n边形最多有n-2个内角等于135°;当6≤n≤7时,凸n边形最多有n-1个内角等于135°;当n=8时,凸n边形最多有8个内角等于135°;当n>8时,凸n边形最多有7个内角等于135°.
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考点分析:
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(3)该宾馆每间房每天收费标准相同.
①一个分式方程,求解该宾馆共有多少间住房,每间住房每天收费多少元?
②通过市场调查发现,每间住房每天的定价每增加10元,就会有5个房间空闲;己知该宾馆空闲房间每天每间支出费用10元,有顾客居住房间每天每间支出费用20元,问房价定为多少元时,该宾馆一天的利润为11000元?(利润=住宿费收入-支出费用)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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