Question

如图1，在平面直角坐标系中，已知点M的坐标是（3，0），半径为2的⊙M交x轴于E、F两点，过点P（-1，0）作⊙M的切线，切点为点A，过点A作AB⊥x轴于点C，交⊙M于点B．抛物线y=ax²+bx+c经过P、B、M三点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点Q是抛物线上一动点，且位于P、B两点之间，设四边形APQB的面积为S，点Q的横坐标为x，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值和此时点Q的坐标；
（3）如图2，将弧AEB沿弦AB对折后得到弧AE′B，试判断直线AF与弧AE′B的位置关系，并说明理由．

Answer

（1）连接AM，则AM⊥PA，又AB⊥x轴，可知∠MAC=∠APM，Rt△APM中，sin∠APM===，故∠APM=30°，在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，解直角三角形可求CM，AC，确定A点坐标，根据对称性求B点坐标，抛物线过P、M，设抛物线交点式，将B点坐标代入即可；
（2）如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，根据S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ表示面积，利用函数的性质求面积最大值及此时Q点的坐标；
（3）相切．如图2，连接AE，证明的圆心为E点，判断∠EAF=90°即可．
【解析】
（1）连接AM，∵PA切⊙M于点A，
∴AM⊥PA，又AB⊥x轴，
∴∠MAC=∠APM，Rt△APM中，PM=PO+OM=1+3=4，AM=2，
∴sin∠APM==，∠APM=30°，
在Rt△ACM中，AM=2，∠MAC=∠APM=30°，
CM=AM•sin30°=2×=1，AC=AM•cos30°=2×=，
∴OC=OM-CM=3-1=2，A（2，），
∵A、B两点关于x轴对称，
∴B（2，-），
∵抛物线过P（-1，0）、M（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将B（2，-）代入，得a（2+1）（2-3）=-，解得a=，
∴y=（x+1）（x-3）=x2-x-；

（2）如图1，过Q点作QH⊥x轴，垂足为H，由（1）得H（x，0），Q（x，x2-x-）
S四边形APQB=S△APC+S△PQH+S梯形BCHQ=×PC×AC+×PH×QH+×（QH+BC）×CH
=×3×+×（x+1）×（-x2+x+）+×（-x2+x+）×（2-x）
=-x2+x+4，
∵-＜0，四边形APQB的面积有最大值，
当x=时，四边形APQB的面积最大值为，此时Q（，-）；

（3）直线AF与弧AE′B相切．如图2，连接AE，
由（1）可知，度数为60°，根据对称性可知度数为60°，△AEE′为等边三角形，
∴的圆心为E点，∠EAF=∠EAC+∠CAF=30°+60°=90°，
∴直线AF与弧AE′B相切．