Question

已知：把Rt△ABC和Rt△DEF按如图（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．如图（2），△DEF从图（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动．当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：
（1）填空：CQ=______，AQ=______（用含t的式子表示）；
（2）当t为何值时，点P在以AQ为直径的⊙M上？
（3）当P、Q、F三点在同一条直线上时，如图（3），求t的值．

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质得出EC=QC，进而得出AQ的长；
（2）根据相似三角形的判定得出△ABC∽△AQP，进而表示出AP，AQ，利用相似三角形的性质求出即可；
（3）首先证明△PAN∽△BAC，再得出△QCF∽△QNP，即可得出=，求出t的值即可．
【解析】
（1）∵∠QCE=90°，∠DEF=45°，
∴EC=CQ，
∴CQ=t，AQ=AC-QC=8-t，
故答案为：t，8-t；

（2）若点P在AQ为直径的⊙M上，如图2，则必须有∠APQ=90°，
由题意得出，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°，
又∠A=∠A，
∴△ABC∽△AQP，
∴=，
由题意得出：BP=2t，EC=t，
在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，
由勾股定理得出：AB==10（cm），
∴AP=10-2t由（1）得：
AQ=8-t，
∴=，
解得：t=3，
∴当t=3s时，点P在以AQ为直径的⊙M上，

（3）当点P、Q、F三点在同一直线上时，如图3，过P作PN⊥AC于点N，
∴∠ANP=∠ACB=∠PNQ=90°，
∵∠PAN=∠BAC，
∴△PAN∽△BAC，
∴==，
∴==，
∴PN=6-t，
AN=8-t，
∵NQ=AQ-AN，
∴NQ=8-t-（8-t）=t，
∵∠ACB=90°，
∵点B、C（E）、F三点在同一直线上，
∴∠QCF=90°，∠QCF=∠PNQ，
∵∠FQC=∠PQN，
∴△QCF∽△QNP，
∴=，
∴=，
∵0＜t＜4.5，
∴=，
解得：t=1．