Question

已知直线y=kx-6（k＞0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒．
（1）填空：点P的坐标为（______，______）；
（2）当k=1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动，如图①．作BF⊥PC于点F，若以B、F、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，求t的值．
（3）当k=时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）²+n与直线AB的另一交点为D（如图②），设△COD的OC边上的高为h，问：是否存在某个时刻t，使得h有最大值？若存在，试求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据P点的运动速度和运动时间可得到OP的长，则P点坐标可求．
（2）从图中可以看出，已知的条件有PQ∥BF，只需令PQ=BF就能得到以B、F、P、Q为顶点的四边形是平行四边形的结论，在求PQ的表达式时要注意P、Q的位置．
（3）首先要求出A、B、C、D四点的坐标，过D作PC的垂线交PC于E，根据D点坐标和抛物线对称轴方程，可确定E点坐标及DE的长，根据构建的相似三角形△CED、△BOA求出CD的长，此时能发现CD长为定值，而△OCD中CD边上的高也是定值（可在△OAB中利用面积公式求得），所以OC边越短、OC边上的高h就越大，因此当h最大时，OC应垂直CD，即OC是CD边的高，根据前面求得的OC长，结合相似三角形△OPC、△BOA求出OP的长，即可求得t的值．
【解析】
（1）由题意，动点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，则OP=t，即：P（t，0）

（2）当k=1时，直线AN的解析式为：y=x-6，令y=0，则x=6，则AO=6
由题意得：PF∥OB，BF∥OP，∠AOB=90°，∴四边形BFPO是矩形，
∴BF=OP=t，∴AQ=OP=t，PQ=6-2t
若四边形BFQP是平行四边形，如图1，则BF=PQ，t=6-2t，解得：t=2，符合题意；
若四边形BFPQ是平行四边形，如图2，则BF=PQ，t=2t-6，即点P与点A重合时，此时四边形BFPQ是矩形，故t=6符合题意．

（3）由题意得：C（t，t-6），以C为顶点的抛物线解析式是y=（x-t）2+t-6；
当k=时，直线AB解析式为：y=x-6，同理可得：A（8，0），B（0，-6）．
由（x-t）2+t-6=x-6，得【解析】
x1=t，x2=t+
如图3，过点D作DE⊥CP于点E，则∠DEC=∠AOB=90°．
∵PC∥OB，∴∠OBA=∠ECD，
∴△DEC∽△AOB
∴=
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===10．
∵AO=8，AB=10，DE=（t+）-t=，
∴CD===．
∴CD边上的高==，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA．
又∵CP⊥OA，即∠OPC=90°，
∴∠OPC=∠AOB=90°
∴Rt△OPC∽Rt△BOA
∴=，即OP===
∴当t=时，h的值最大．