Question

直角三角板ABC中，∠A=30°，BC=1．将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角α（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A′B′C，
（1）如图，当A′B′边经过点B时，求旋转角α的度数；
（2）在三角板旋转的过程中，边A′C与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥A′B′交CB′边于点E，连接BE．
①当0°＜α＜90°时，设AD=x，BE=y，求y与x之间的函数解析式及定义域；
②当时，求AD的长．

Answer

（1）由旋转的性质可得出∠α=∠B′CB=60°；
（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．根据平行线DE∥A'B'分线段成比例知、及由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE由此证明△CAD∽△CBE；根据相似三角形的对应边成比例、直角三角形的性质及∠A=30°求得（0＜x＜2）；
②先求得△ABC的面积，再由△CAD∽△CBE，求得BE，分情况讨论：当点D在AB边上时，AD=x，BD=AB-AD=2-x；当点D在AB的延长线上时，AD=x，BD=x-2．
【解析】
（1）在Rt△ABC中，∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°．（1分）
由旋转可知：B′C=BC，∠B′=∠ABC=60°，∠α=∠B′CB
∴△B′BC为等边三角形．（2分）
∴∠α=∠B′CB=60°．（1分）

（2）①当0°＜α＜90°时，点D在AB边上（如图）．
∵DE∥A'B'，
∴．（1分）
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，（1分）
∴．
∴△CAD∽△CBE；（1分）
∴．
∵∠A=30°
∴=．（1分）
∴（0＜x＜2）（2分）
②当0°＜α＜90°时，点D在AB边上．
AD=x，BD=AB-AD=2-x，
∵DE∥A′B′，
∴，
由旋转性质可知，CA=CA'，CB=CB'，∠ACD=∠BCE．
∴，
∴，
∴△CAD∽△CBE，
∴∠EBC=∠A=30°，又∠CBA=60°，
∴∠DBE=90°．
此时，．
当S=时，．
整理，得x2-2x+1=0．
解得x1=x2=1，即AD=1．（2分）
当90°＜α＜120°时，点D在AB的延长线上（如图）．
仍设AD=x，则BD=x-2，∠DBE=90°，．
当S=时，．
整理，得x2-2x-1=0．
解得，（负值，舍去）．
即．（2分）
综上所述：AD=1或．