Question

如图，在矩形ABCD中，AB=9，AD=3，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点，设CP的长度为x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．

（1）求∠CQP的度数；
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的AB边上；
（3）①求y与x之间的函数关系式；
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的．

Answer

（1）由于PQ与BD平行，∠CQP=∠CDB，因此只需求出∠CDB的度数即可．可在直角三角形ABD中，根据AB，AD的长求出∠ABD的度数，由∠CQP=∠CDB=∠ABD即可得出∠CQP的度数；
（2）当R在AB上时，三角形PBR为直角三角形，且∠BPR=60°（可由（1）的结论得出），根据折叠的性质PR=CP=x，然后用x表示出BP的长，在直角三角形可根据∠RPB的余弦值得出关于x的方程即可求出x的值；
（3）①要分两种情况进行讨论：
一、当R在AB或矩形ABCD的内部时，重合部分是三角形PQR，那么重合部分的面积可通过求三角形CQP的面积来得出，在直角三角形CQP中，已知了∠CQP的度数，可用CP即x的值表示出CQ的长，然后根据三角形的面积计算公式可得出y，x的函数关系式；
二、当R在矩形ABCD的外部时，重合部分是个四边形的面积，如果设RQ，RP与AB的交点分别为E、F，那么重合部分就是四边形EFPQ，它的面积=△CQR的面积-△REF的面积．△CQR的面积在一已经得出，关键是求△REF的面积，首先要求出的是两条直角边RE，RF的表达式，可在直角三角形PBF中用一的方法求PF的长，即可通过RP-PF得出RF的长；在直角三角形REF中，∠RFE=∠PFB=30°，可用其正切值表示出RE的长，然后可通过三角形的面积计算公式得出三角形REF的面积．进而得出S与x的函数关系式；
②可将矩形的面积代入①的函数式中，求出x的值，然后根据自变量的取值范围来判定求出的x的值是否符合题意．
【解析】
（1）如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．
又AB=9，AD=3，∠C=90°，
∴CD=9，BC=．
∴tan∠CDB=，
∴∠CDB=30°．
∵PQ∥BD，
∴∠CQP=∠CDB=30°；

（2）如图1，由轴对称的性质可知，△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP．
由（1）知∠CQP=30°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°，
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP．
∵CP=x，
∴PR=x，PB=-x．
在△RPB中，根据题意得：2（-x）=x，
解这个方程得：x=2；

（3）①当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时，
，，
∵△RPQ≌△CPQ，
∴当0＜x≤时，
当R在矩形ABCD的外部时（如图2），，
在Rt△PFB中，
∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（-x），
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-6，
在Rt△ERF中，
∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=x-6．
∴S△ERF=ER×FR=x2-18x+18，
∵y=S△RPQ-S△ERF，
∴当时，y=x2+18x-18．
综上所述，y与x之间的函数解析式是：．
②矩形面积=，
当时，函数随自变量的增大而增大，
所以y的最大值是，而矩形面积的的值=，
而，所以，当时，y的值不可能是矩形面积的；
当时，根据题意，得：，
解这个方程，得，
因为，
所以不合题意，舍去．
所以．
综上所述，当时，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的．