Question

如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm．动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止．过点E作EF∥AC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；
（2）在这个运动过程中，△DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积．

Answer

（1）由BD=tcm，DE=4cm，可得BE=BD+DE=（t+4）cm，又由EF∥AC，即可得△BEF∽△BAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长；
（2）分三种情况讨论：①当DF=EF时，②当DE=EF时，③当DE=DF时，利用等腰三角形的性质与相似三角形的判定与性质，即可求得答案；
（3）首先设P是AC的中点，连接BP，可证得点B，N，P共线，即可得点N沿直线BP运动，MN也随之平移，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形，然后求得▱PQST的面积即为MN所扫过的面积．
【解析】
（1）∵BD=tcm，DE=4cm，
∴BE=BD+DE=（t+4）cm，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BCA，
∴EF：CA=BE：BC，
即EF：10=（t+4）：16，
解得：EF=（t+4）（cm）；

（2）分三种情况讨论：
①如图1，∵当DF=EF时，
∴∠EDF=∠DEF，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵EF∥AC，
∴∠DEF=∠C，
∴∠EDF=∠B，
∴点B与点D重合，
∴t=0；
②如图2，当DE=EF时，
则4=（t+4），
解得：t=；
③如图3，∵当DE=DF时，有∠DFE=∠DEF=∠B=∠C，
∴△DEF∽△ABC．
∴，
即，
解得：t=；
综上所述，当t=0、或秒时，△DEF为等腰三角形．

（3）如图4，设P是AC的中点，连接BP，
∵EF∥AC，
∴△FBE∽△ABC．
∴，
∴．
又∵∠BEN=∠C，
∴△NBE∽△PBC，
∴∠NBE=∠PBC．
∴点B，N，P共线，
∴点N沿直线BP运动，MN也随之平移．
如图5，设MN从ST位置运动到PQ位置，则四边形PQST是平行四边形．
∵M、N分别是DF、EF的中点，
∴MN∥DE，且ST=MN=DE=2．
分别过点T、P作TK⊥BC，垂足为K，PL⊥BC，垂足为L，延长ST交PL于点R，则四边形TKLR是矩形，
∵当t=0时，EF=（0+4）=，TK=EFsin∠DEF=••=；
当t=12时，EF=AC=10，PL=AC•sin∠C=•10•=3．
∴PR=PL-RL=PL-TK=3-=．
∴S平行四边形PQST=ST•PR=2×=．
∴整个运动过程中，MN所扫过的面积为cm2．