Question

如图1，已知抛物线y=x²+bx+c经过A（3，0）、B（0，4）两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求点C关于直线AB的对称点C'的坐标；
（3）若点D是第二象限内点，以D为圆心的圆分别与x轴、y轴、直线AB相切于点E、F、H（如图2），问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P，使得|PH-PA|的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用待定系数法将A（3，0）、B（0，4）两点代入求出即可；
（2）首先求出C点坐标，再利用△CTC'∽△BOA，得出，进而得出C'T=，CT=的值求出C′点的坐标；
（3）首先求出圆的半径，再利用抛物线的对称性，得PA=PC，根据|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，得出当H、C、P三点共线时，|PH-PC|最大，求出即可．
【解析】
（1）由题意得：，
解得：．
∴抛物线解析式为y=x2-x+4；

（2）令y=0，得x2-x+4=0．
解得：x1=1，x2=3．
∴C点坐标为（1，0）．
作CQ⊥AB，垂足为Q，延长CQ，使CQ=C'Q，则点C′，
就是点C关于直线AB的对称点．
由△ABC的面积得：CQ•AB=CA•BO，
∵AB==5，CA=2，
∴CQ=，CC'=．
作C'T⊥x轴，垂足为T，
∵∠C′CT+∠BAO=90°，∠C′CA+∠CC′T=90°，
∴∠BAO=∠CC′T，
∵∠BOA=∠CTC′，
∴△CTC'∽△BOA．
∴，
∴C'T=，CT=
∴OT=1+=，
∴C'点的坐标为（，）；

（3）设⊙D的半径为r，
则AE=r+3，BF=4-r，HB=BF=4-r．
∵AB=5，且AE=AH，
∴r+3=5+4-r，
∴r=3．    
HB=4-3=1．
作HN⊥y轴，垂足为N，
则，，
∴HN=，BN=，
∴H点坐标为（，）．
根据抛物线的对称性，得PA=PC，
∵|PH-PA|=|PH-PC|≤HC，
∴当H、C、P三点共线时，|PH-PC|最大．
∵HC==，
∴|PH-PA|的最大值为．