Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交A（-1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C（0，-3），
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在x轴下方的抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为9，若存在，求出点D的坐标；若不存在．说明理由；
（3）在（2）的情况下，P是线段AD上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于Q点，求线段PQ长度的最大值．

Answer

（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）设D（a，a2-2a-3），过点D，作DE⊥x轴于E，利用S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB，求出a的值即可，进而求出D点坐标即可；
（3）根据（2）中D点坐标，进而表示出PQ的长度，利用二次函数的最值求出即可．
【解析】
（1）由A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点的坐标，
代入y=ax2+bx+c得：
，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x2-2x-3；

（2）存在，
如图1，设D（a，a2-2a-3），过点D 作DE⊥x轴于E
则S四边形ACDB=S△AOC+S梯形OCDE+S△DEB，
=×3×1+a（-a2+2a+3+3）+（-a2+2a+3）（3-a），
=，
由S四边形ACDB=9得，
=9，
解得a1=2，a2=1，
当a=2，a2-2a-3=-3，
当a=1，a2-2a-3=-4，
则D（2，-3）或D（1，-4）；

（3）由于点D存在两种情形，则也有两种情形
①如图2，当D（2，-3）时，A（-1，0），
代入y=ax+b得：，
解得：，
故直线AD的解析式为：y=-x-1，
可设P（m，-m-1）；则Q（m，m2-2m-3），
则PQ=-（m2-2m-3）-m-1=-m2+m+2=-（m-） 2+，
此时PQ的最大值为，
②如图3，当D（1，-4）时，可求得直线AD的解析式为：y=-2x-2，
可设P（m，-2m-2）；则Q（m，m2-2m-3），
则PQ=-（m2-2m-3）-2m-2=-m2+1，
此时PQ的最大值为1．