Question

已知：如图，直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），与直线y=x相交于点C．P（0，t）是y轴上的一个动点，过点P作直线l垂直y轴，与直线y=x相交于点D，与直线y=kx+b相交于点E，在直线l下方作一个等腰直角三角形DEF，使DF=DE，∠EDF=90°．
（1）求直线AB的解析式和C点的坐标；
（2）当点F落在x轴上时，求t的值；
（3）当t为何值时，以A，E，P，F为顶点的四边形是梯形？

Answer

（1）把点A、B的坐标代入直线y=kx+b得到关于k、b二元一次方程组，求解得到k、b的值，即可得解，联立两直线解析式，求解即可得到点C的坐标；
（2）利用直线解析式表示出点D、E的坐标，然后求出DE的长度，再根据点F在x轴上，DE=DF列式计算即可得解；
（3）根据梯形的底边平行，分①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论解答，②PF∥AE时，先根据点D、E的坐标求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线PF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值；③AP∥EF时，分点P在y轴正半轴与负半轴两种情况求出DE的长度，然后表示出点F的坐标，再利用待定系数法求出直线AP、EF的解析式，然后根据平行直线的解析式的k值相等列式求解即可得到t的值．
【解析】
（1）∵直线y=kx+b与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，16），
∴，
解得，
所以，直线AB的解析式为y=-2x+16，
联立，
解得，
所以，C点坐标为（，）；

（2）根据题意，点D、E的纵坐标都是t，
所以，-2x+16=t，
解得x=，
所以，点D（t，t），E（，t），
DE=|-t|，
∵点F在x轴上，
∴|-t|=t，
即-t=t或-t=-t，
解得t=或t=16，
所以，t的值为，16；

（3）①PE∥AF时，点F在x轴上，根据（2）的结论，
t=或16，
当t=16时，P、B、E三点重合，以A，E，P，F为顶点的是三角形，不符合题意舍去，
所以，t=；

②PF∥AE时，点D在点E的左边，
∵D（t，t），E（，t），
∴DE=-t=，
点F的纵坐标为：t-=，
∴点F（t，），
设直线PF的解析式为y=ex+f，
则，
解得，
所以，直线PF的解析式为y=x+t，
∵PF∥AE，
∴=-2，
解得t=；

③AP∥EF时，（i）若点P在y轴正半轴，则DE=t-=，
点F的纵坐标为t-=，
∴点F的坐标为（t，），
设直线EF的解析式为y=cx+d，则，
解得，
∴直线EF的解析式为y=-x+，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直线AP的解析式为y=-+t，
∵AP∥EF，
∴-=-1，
解得t=8，

（ii）若点P在y轴负半轴，则DE=-t=，
点F的纵坐标为t-=，
∴点F的坐标为（t，），
设直线EF的解析式为y=mx+n，则，
解得，
∴直线EF的解析式为y=x+，
又∵A（8，0），P（0，t），
∴直线AP的解析式为y=-+t，
∵AP∥EF，
∴-=1，
解得t=-8，
综上所述，t的值为，，8，-8．