Question

如图，AB是⊙O的直径，点A、C、D在⊙O上，过D作PF∥AC交⊙O于F、交AB于E，且∠BPF=∠ADC．
（1）判断直线BP和⊙O的位置关系，并说明你的理由；
（2）当⊙O的半径为，AC=2，BE=1时，求BP的长．

Answer

（1）连接BC，求出∠ACB=90°，根据PF∥AC，推出BC⊥PF，求出∠PBC+∠BPF=90°，求出∠PBC+∠ABC=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出BC，证△ABC和△BEP相似，得出比例式，即可求出BP．
（1）【解析】
直线BP和⊙O相切，
理由：连接BC，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∵PF∥AC，
∴BC⊥PF，
则∠PBC+∠BPF=90°，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
∴∠PBC+∠ABC=90°，
即∠PBA=90°，
∵AB是直径，
∴直线BP和⊙O相切；

（2）【解析】
由已知，得∠ACB=90°，
∵AC=2，AB=2，
∴由勾股定理得：BC=4，
∵∠BPF=∠ADC，∠ADC=∠ABC，
∴∠BPF=∠ABC，
由（1），得∠ABP=∠ACB=90°，
∴△ACB∽△EBP，
∴=，
解得BP=2，
即BP的长为2．