Question

如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段MN、ND、DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）若EG=4，GF=6，BM=3，求AG、MN的长．

Answer

（1）由图形翻折变换的性质可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出结论；
（2）连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出结论；
（3）设AG=x，则EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．
（1）证明：∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
∵△AFD由△AFG翻折而成，
∴∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；

（2）MN2=ND2+DH2，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵，
∴△AMN≌△AHN，
∴MN=NH，
∴MN2=ND2+DH2；

（3）设AG=BC=x，则EC=x-4，CF=x-6，
在Rt△ECF中，
∵CE2+CF2=EF2，即（x-4）2+（x-6）2=100，x1=12，x2=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD===12，
∵BM=3，
∴MD=BD-BM=12-3=9，
设NH=y，
在Rt△NHD中，
∵NH2=ND2+DH2，即y2=（9-y）2+（3）2，解得y=5，即MN=5．