Question

如图，四边形ABCD是矩形，点P是直线AD与BC外的任意一点，连接PA、PB、PC、PD．请解答下列问题：

（1）如图1，当点P在线段BC的垂直平分线MN上（对角线AC与BD的交点Q除外）时，证明△PAC≌△PDB；
（2）如图2，当点P在矩形ABCD内部时，求证：PA²+PC²=PB²+PD²；
（3）若矩形ABCD在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3），如图3所示，设△PBC的面积为y，△PAD的面积为x，求y与x之间的函数关系式．

Answer

（1）利用三角形三边关系对应相等得出△PAC≌△PDB即可；
（2）利用已知可证得四边形ADGK是矩形，进而得出AK2=DG2，CG2=BK2，即可得出答案；
（3）结合图形得出当点P在直线AD与BC之间时，以及当点P在直线AD上方时和当点P在直线BC下方时，分别求出即可．
【解析】
（1）作BC的中垂线MN，在MN上取点P，连接PA、PB、PC、PD，
如图（1）所示，∵MN是BC的中垂线，
∴PA=PD，PC=PB，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，
即，
∴△PAC≌△PDB（SSS），

（2）证明：过点P作KG∥BC，如图（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，DC⊥BC
∴AB⊥KG，DC⊥KG，
∴在Rt△PAK中，PA2=AK2+PK2
同理，PC2=CG2+PG2；PB2=BK2+PK2，PD2=+DG2+PG2
PA2+PC2=AK2+PK2+CG2+PG2，PB2+PD2=BK2+PK2+DG2+PG2
AB⊥KG，DC⊥KG，AD⊥AB，可证得四边形ADGK是矩形，
∴AK=DG，同理CG=BK，
∴AK2=DG2，CG2=BK2
∴PA2+PC2=PB2+PD2

（3）∵点B的坐标为（1，1），点D的坐标为（5，3）
∴BC=4，AB=2，
∴S矩形ABCD=4×2=8，
直线HI垂直BC于点I，交AD于点H，
当点P在直线AD与BC之间时，
S△PAD+S△PBC=BC•HI=4，
即x+y=4，因而y与x的函数关系式为y=4-x，
当点P在直线AD上方时，S△PBC-S△PAD=BC•HI=4，
而y与x的函数关系式为y=4+x，
当点P在直线BC下方时，S△PAD-S△PBC=BC•HI=4，
y与x的函数关系式为y=x-4．