Question

如图1，抛物线y=nx²-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），抛物线上另有一点A在第一象限内，且∠BAC=90°．
（1）填空：点B的坐标为（______），点C的坐标为（______）；
（2）连接OA，若△OAC为等腰三角形．
①求此时抛物线的解析式；
②如图2，将△OAC沿x轴翻折后得△ODC，点M为①中所求的抛物线上点A与点C两点之间一动点，且点M的横坐标为m，过动点M作垂直于x轴的直线l与CD交于点N，试探究：当m为何值时，四边形AMCN的面积取得最大值，并求出这个最大值．

Answer

（1）根据二次函数与x轴交点坐标求法，解一元二次方程即可得出；
（2）①利用菱形性质得出AD⊥OC，进而得出△ACE∽△BAE，即可得出A点坐标，进而求出二次函数解析式；
②首先求出过C、D两点的坐标的直线CD的解析式，进而利用S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN求出即可．
【解析】
（1）∵抛物线y=nx2-11nx+24n （n＜0）与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧），
∴抛物线与x轴的交点坐标为：0=nx2-11nx+24n，
解得：x1=3，x2=8，
∴OB=3，OC=8，
故B点坐标为（3，0），C点坐标为：（8，0）；

（2）①如图1，作AE⊥OC，垂足为点E
∵△OAC是等腰三角形，∴OE=EC=×8=4，∴BE=4-3=1，
又∵∠BAC=90°，∴△ACE∽△BAE，∴=，
∴AE2=BE•CE=1×4，∴AE=2，
∴点A的坐标为 （4，2），
把点A的坐标 （4，2）代入抛物线y=nx2-11nx+24n，得n=-，
∴抛物线的解析式为y=-x2+x-12，

②∵点M的横坐标为m，且点M在①中的抛物线上，
∴点M的坐标为 （m，-m2+m-12），由①知，点D的坐标为（4，-2），
则C、D两点的坐标求直线CD的解析式为y=x-4，
∴点N的坐标为 （m，m-4），
∴MN=（-m2+m-12）-（m-4）=-m2+5m-8，
∴S四边形AMCN=S△AMN+S△CMN=MN•CE=（-m2+5m-8）×4，
=-（m-5）2+9，
∴当m=5时，S四边形AMCN=9．