Question

已知函数y=x²-4x与x轴交于原点O及点A，直线y=x+a过点A与抛物线交于点B．
（1）求点B的坐标与a的值；
（2）是否在抛物线的对称轴存在点C，在抛物线上存在点D，使得四边形ABCD为平行四边形？若存在求出C、D两点的坐标，若不存在说明理由；
（3）若（2）中的平行四边形存在，则以点C为圆心，CD长为半径的⊙C与直线AB有何位置关系？并请说明理由．

Answer

（1）利用函数y=x2-4x与x轴交于原点O及点A，当y=0，0=x2-4x，求出图象与x轴交点坐标，进而求出a的值，再求出两图象交点坐标，即可得出B点坐标；
（2）利用平行四边形的性质得出C，D两点坐标即可；
（3）根据两点之间的距离求法得出CD=AB=，BC==，AC==2，即可得出AC⊥AB，进而得出⊙C与直线AB相交．
【解析】
（1）∵函数y=x2-4x与x轴交于原点O及点A，
∴当y=0，0=x2-4x，
解得：x1=0，x2=4，
故图象与x轴交于A点：（4，0），
将A点代入y=x+a，
得：0=4+a，
则a=-4，
将y=x-4与y=x2-4x联立：
，
解得：
，，
故B的坐标（1，-3），a=-4；

（2）存在．
如图所示，假设四边形ABCD为平行四边形，
因为BC∥AD，BC=AD，又点B坐标为（1，-3），点C的横坐标为2，点A的横坐标为4，
所以点D的横坐标为4+1=5，点D的纵坐标y=52-4×5=5，点C的纵坐标为-3+5=2，
即C（2，2），D（5，5）；

（3）⊙C与直线AB相交．理由如下：
如图所示，连接AC，
∵C（2，2），D（5，5），B（1，-3），A（4，0），
∴CD=AB=，BC==，AC==2，
∴CD2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴AC⊥AB，
∵AC=＜3，
因此⊙C与直线AB相交．