Question

某小区要在一块矩形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求：
①四边形花园所占面积是矩形ABCD面积的一半；
②四边形花园的四个顶点都在矩形ABCD的四条边上（不能与矩形ABCD的顶点重合）．
请你设计两种不同的方案（不全等的图形设计算作不同的设计方案），并简要说明你的画法．

Answer

（1）在四边形ABCD上分别取各边的中点，再连接起来，就是所要求的图形；
（2）在AD上截取AH=BF，连接HF，则HF把矩形ABCD分成两个矩形，在AB上任取一点E，顺次连接E、F、G、H四点即可得到符合要求的四边形；
在AD上截取DP=BM，连接MP，再作出MP的中点O，过O通过作角相等作ON∥BC交CD于点N，交AB于点Q，则顺次连接M、N、P、Q即可得到符合要求的平行四边形．
【解析】
（1）如图，在AD上取一点H，使AH=HD，
在AB上取一点E，使AE=EB，
在BC上取一点F，使BF=FC，
在DC上取一点G，使DG=GC，
连接EH，HG，GF，FE，四边形HGFE就是所求的四边形花园所占面积是矩形ABCD面积的一半图形．

（2）方案一：
作法：①在AD上截取AH=BF，连接HF，
②在AB上任取一点E
③连接HG，GF，EF，EH得到四边形EFGH，
所以四边形EFGH就是所要求作的四边形．
理由：因为ABCD是矩形，HF把矩形ABCD分成矩形ABFH与矩形DHFC，
则S△FGH=S矩形DHFC，S△EHF=S矩形ABHF，
∴S四边形GHEF=S四边形ABCD

方案二：
画法：①在AD上截取DP=BM，连接MP，
②作MP的垂直平分线，得到MP的中点O，
③作∠PON=∠PMC交CD于点N，反向延长ON，交AB于点Q，连接MN、MP、PQ、QM，得到四边形MNPQ，
所以四边形MNPQ就是所要求作的平行四边形．
理由如下：∵∠PON=∠PMC，
∴QN∥BC，
∵点O是MP的中点，
∴点Q、点N分别是AB、CD的中点，
∴OQ=（BM+AP）=AD，NO=（MC+DP）=BC，
∴OQ=NO，
∴四边形MNPQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
因为ABCD是矩形，QN把矩形ABCD分成矩形AQND与矩形BCNQ，
则S△PQM=S矩形AQND，S△EQMN=S矩形BCNQ，
∴S四边形MNPQ=S四边形ABCD．