Question

已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论：
①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB=150°；
④S_△APC+S_△APB=，其中正确的结论有（ ）

A．①②④
B．①③④
C．①②③
D．②③④

Answer

由线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，根据旋转的性质有AD=AP，∠DAP=60°，再根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，易得∠DAP=∠PAC，于是△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；△ADP为等边三角形，则有PD=PA=3；在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，则∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°；由△ADB≌△APC得S△ADB=S△APC，则有S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD，根据等边三角形的面积为边长平方的倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP+S△BPD=×32+×3×4=6+，可判断④不正确．
【解析】
连PD，如图，
∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，
∴AD=AP，∠DAP=60°，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠DAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP，
∴∠DAP=∠PAC，
∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确；
∵DA=PA，∠DAP=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴PD=PA=3，所以②正确；
在△PBD中，PB=4，PD=3，由①得到BD=PC=5，
∵32+42=52，即PD2+PB2=BD2，
∴△PBD为直角三角形，且∠BPD=90°，
由②得∠APD=60°，
∴∠APB=∠APD+∠BPD=60°+90°=150°，所以③正确；
∵△ADB≌△APC，
∴S△ADB=S△APC，
∴S△APC+S△APB=S△ADB+S△APB=S△ADP+S△BPD=×32+×3×4=6+，所以④不正确．
故选C．